最速降曲線問題及方程式

1630年，意大利科學家伽利略提出一個分析學的基本問題。他說這最速曲線是圓，但這是一個錯誤的答案。1696年瑞士數學家約翰．伯努利提出這個最速降曲線的問題，次年已有多位數學家得到正確答案，並研究出最速曲線的方程。  

一、簡介  

在一個斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落，曲線的小球反而先到終點。這是由於曲線軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達。  

(加/信，一對一免費分析最速曲線的方程問題)

然而，兩點之間的直線只有一條，曲線卻有無數條，那麼，哪一條才是最速降曲線呢？伽利略與1630年提出了這個問題，當時他認為這條線應該是一條弧線，可是後來人們發現這個答案是錯誤的。  

1696年，瑞士數學家約翰·伯努利解決了這個問題，他還拿這個問題向其他數學家提出了公開挑戰。牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等解決了這個問題。這條最速降曲線就是一條擺線，也叫旋輪線。  

最速降曲線就是擺線，只不過在最速降線問題中，這條擺線是上、下顛倒過來的罷了。  

二、最速曲線的方程  

約翰∙伯努利認為光在「折射率梯度降低介質」中的傳播路徑，也必定是「質點因重力沿坡下滑」中那個「最快的坡」。最速曲線的方程是這樣的：  

（1）光的波動性，決定了光有v1/v2＝sinθ1/sinθ2（斯涅爾定律）這樣一種擇向規律。證明如下；  

（2）光的v1/v2＝sinθ1/sinθ2（斯涅爾定律）的擇向規律，決定了「光徑最快」，即「光在兩點間傳播所選擇的路徑是用時最少的路徑」，證明如下；  

（3）如果一個質點從A點到達了B點，光也從A點到達了B點。二者的速度（大小和方向）隨位置變化的規律一致，並且實際走的路徑也一致，則該路徑不僅是光，也是該質點從A到達B的最快路徑；  

（4）現在考慮一個因重力沿坡下滑的質點，要從A點到達不在其正下方的B點，當然是有各種可能的坡的，直的、彎的，「這麼」彎的、「那麼」彎的，由人來選；  

（5）無論什麼樣的坡，其速度變化規律是：速度大小隻和高度有關，即速度大小與「高度降」的平方根成正比（基於能量守恆和勢能動能轉換規律），方向都是沿着路徑的切向；  

（6）現在構建一個光傳播系統，該系統中從高向低介質的折射率從大向小，那麼由於光傳播速度只取決於折射率，而折射率在這種「折射率梯度降低介質」中只取決於高度，因此光如果從A點到達了B點，則同樣有：速度大小隻取決於高度，方向都是沿着路徑的切向；  

（7）基於（3），光徑必定也是下滑質點的最快的坡；  

（8）基於「速度大小隻取決於高度、方向沿路徑切向」和「v1/v2＝sinθ1/sinθ2」，足以推導出路徑方程符合擺線方程。  

強調一點：當你為下滑質點模擬好了光徑，也就約束了它遵守「v1/v2＝sinθ1/sinθ2」。  

以上是最速曲線的方程的詳細證明，希望能夠幫助你解答問題。  

　　熱門文章推薦：

　　精神緊張 精神焦慮症的自救

　　開會發言緊張怎麼辦 4招克服緊張

　　控制情緒：怎麼控制自己的情緒?

標籤： 最速曲線 最速降曲線 最速曲線的方程